Inleiding: De azimutale projectie in de cartographische praktijk

Kaarten zijn abstracties van de werkelijkheid. Elke cartograaf confronteert de fundamentele uitdaging van het voorstellen van een driedimensionale, bolvormige Aarde op een tweedimensionale vlak. Geen projectie bereikt dit zonder vervorming; elke prioriteit bepaalde eigenschappen ..vorm, gebied, afstand, of richting .. ten koste van anderen. Onder de meest onderscheidende en gespecialiseerde families van kaartprojecties is de azimuthal projectie, een klasse gedefinieerd door zijn geometrische benadering en zijn unieke vermogen om ware richtingen te behouden vanaf een centraal punt.

In tegenstelling tot cilindrische projecties (zoals Mercator) of kegelsnedes, die de aardbol op een cilinder of kegel wrappen, projecteert de azimuthal projectie het aardoppervlak op een vlak[ dat de aardbol op één punt raakt. Dat punt van tandvlees wordt het middelpunt van de kaart. Vanuit dat centrum worden alle richtingen (azimutsen) naar elk ander punt op de kaart correct weergegeven. Deze richtingelijke trouw maakt de azimuthal projectie onmisbaar voor specifieke navigatie-, communicatie- en thematische mappingtaken, vooral wanneer de regio van belang is gecentreerd op een van de polen. De poolgebieden, berucht vervormd en gefragmenteerd in vele gemeenschappelijke wereldkaarten, ontvangen hun meest coherente en inzichtelijke behandeling via de azimuthal-familie.

De geschiedenis van de azimuthal projectie strekt zich terug tot de oudheid. De Griekse filosoof Thales van Miletus wordt bijgeschreven met het ontwikkelen van de eerste gnomonische projectie rond de 6e eeuw v.Chr., een projectie die grote cirkels als rechte lijnen in kaart brengt. Hipparchus later verfijnde stereografische en orthografische varianten voor astronomisch gebruik. Deze vroege projecties waren niet primair instrumenten voor geografie; ze waren instrumenten voor hemelse mapping en voor het begrijpen van de geometrie van de bol. Pas in het tijdperk van Exploration vonden azimuthal projecties praktische terrestrische toepassing, als navigators en ontdekkingsreizigers zochten betrouwbare manieren om cursussen over oceanen te plotten en om de onbekende hoge breedtegraden in kaart te brengen.

Vandaag de dag blijft de azimuthal projectie een standaard instrument in het repertoire van de cartograaf. Het is de standaard keuze voor kaarten van de Noordpool en Antarctica, voor pool-baaning satellietdata visualisatie, voor radio-en radardekking percelen, en voor elke toepassing waar het kennen van de ware lager van een centraal punt is belangrijker dan het behoud van het gebied of de vorm van verre landmassa's. Het begrijpen van de eigenschappen, de varianten, en het juiste gebruik ervan is essentieel voor iedereen die ontwerpen of interpreteren kaarten van de poolwereld.

Kenmerken van de Azimuthale projectie

Alle azimuthale projecties delen een reeks van definieer geometrische en wiskundige kenmerken die hen onderscheiden van andere projectiefamilies. Deze eigenschappen ontstaan uit de fundamentele geometrie van het projecteren van een bol op een raakvlak.

Planaire projectie-oppervlak

De meest fundamentele eigenschap is dat het projectieoppervlak een vlak is. De bol wordt conceptueel geprojecteerd op een vlak oppervlak dat de bol op een punt raakt. Dit punt van tandvlees, bekend als het "centerpunt" of "projectiecentrum," is het punt van nul vervorming. Het vlak kan op elke locatie op de bol worden aangeraakt aan een pool, op een punt op de evenaar, of op willekeurige breedte en lengte. Wanneer het vlak raakpunt is op een pool, wordt de projectie een pool azimutale projectie genoemd. Wanneer het raakpunt op de evenaar is, is het een equatotoriale azimutale projectie. Een oblique azimuthal resultaat wanneer het punt van de tandwielkast ergens anders ligt.

Ware richting vanuit het centrum

De eigenschap die de azimuthal projectie zijn naam geeft is het behoud van azimutsen (ware richtingen) vanaf het centrum punt naar elk ander punt op de kaart. Als een lijn wordt getrokken van het centrale punt naar een andere locatie, de hoek die lijn maakt met de meridiaan passeren door het centrum is precies gelijk aan de ware lager (de azimut) van het centrum naar die locatie op de wereld. Deze richting nauwkeurigheid is de enige belangrijkste eigenschap van de azimuthal familie. Het is wat deze projecties zo waardevol maakt voor navigatie, voor het plotten van radiosignalen, en voor elke toepassing waar het kennen van "welke weg" van een referentiepunt belangrijker is dan het kennen van "hoe ver" of "hoe groot."

Belangrijk is dat deze directionele eigenschap alleen vanaf het centrumpunt in stand houdt. Azimuths tussen twee punten die niet het centrum zijn, zijn niet algemeen bewaard gebleven. Een kaart die de richting van New York naar Londen correct weergeeft, zal niet noodzakelijk de juiste richting van Londen naar Parijs tonen. De azimuthal projectie is radiaal waar: het is alleen accuraat vanuit het centrum naar buiten.

Radiaal-symmetrie en Circulair Graticules

In een pool azimuthal projectie, de meridianen (lijnen van lengte) verschijnen als rechte lijnen die naar buiten uitstralen van het middelpunt (de pool). De parallellen (lijnen van breedtegraad) verschijnen als concentrische cirkels rond het centrum. Deze radiaal symmetrie produceert een visueel opvallende en geometrische schone kaart. De afstand tussen de parallellen bepaalt de specifieke variant van de azimuthal projectie (equidistant, gelijk-gebied, conformaal, enz.).

De graticule zelf is een systeem van cirkels en radii. Het middelpunt is de enige plaats waar de graticule lijnen elkaar kruisen in rechte hoeken, waarbij de lokale hoeknauwkeurigheid behouden blijft. Als men zich van het midden verwijdert, kunnen de hoeken tussen meridianen en parallellen afwijken van 90 graden, waardoor hoekvervorming in niet-conforme varianten wordt geïntroduceerd. De cirkelvormige vorm van de kaart is een natuurlijk gevolg van de planaire projectie: het zichtbare halfrond kan worden weergegeven binnen de cirkel van het raakvlak, terwijl het tegenovergestelde halfrond ofwel niet kan worden getoond of ernstig wordt vervormd en vaak weggelaten.

Vergroting van het centrum

Geen enkele kaartprojectie is vrij van vervorming. In de azimuthal familie, vervorming van de oppervlakte, vorm, afstand en schaal neemt radiale naar buiten toe toe vanaf het centrum punt van de tandvlees. In het centrum zelf, vervorming is nul: de schaal is waar in alle richtingen. Naarmate afstand van het centrum toeneemt, de schaal langs radii (vanuit het centrum naar buiten) en de schaal langs parallellen (rond het centrum) verschillen, wat leidt tot ofwel uitbreiding of compressie van functies.

De snelheid en het type vervorming zijn afhankelijk van de specifieke azimuthalvariant. In de Lambert Azimuthal Equal-Area projectie wordt het gebied bewaard ten koste van de vorm. De orthografische projectie behoudt geen oppervlakte noch vorm, maar biedt een visueel realistische, perspectief van de wereld van een grote afstand. De equidistante azimuthal projectie behoudt ware afstanden van het centrum langs radii, maar gebied en vorm worden steeds meer vervormd. Het begrijpen van deze trade-off is centraal voor het selecteren van de juiste azimuthal projectie voor een bepaald doel.

Omdat vervorming groeit met afstand van het centrum, azimuthal projecties zijn het meest geschikt voor het in kaart brengen van regio's die ongeveer cirkelvormig in omvang en gecentreerd op het punt van de tandvlees. Ze zijn ideaal voor hemisferische kaarten, voor kaarten van de poolgebieden, en voor regionale kaarten waar het gebied van belang is geconcentreerd rond een enkele locatie. Met behulp van een azimuthal projectie voor een globale kaart krachten ernstige vervorming van de verste kant van de wereld, dat is waarom het tegenovergestelde halfrond wordt meestal niet getoond of wordt alleen getoond bij extreme compressie.

Majoor Varianten van de Azimuthal Projectie

Niet alle azimuthal projecties zijn gelijk gemaakt. Er bestaan verschillende wiskundige formuleringen binnen de azimuthal familie, elk met verschillende conserveringseigenschappen. Begrijpen deze varianten is essentieel voor het kiezen van het juiste gereedschap voor een mapping taak.

De Gnomonische projectie

De gnomonische projectie is de oudste azimuthalvariant, ontwikkeld voor astronomisch en navigatiegebruik door de oude Grieken. Het wordt gecreëerd door punten vanuit het centrum van de wereld te projecteren op een raakvlak. De belangrijkste eigenschap van de gnomonische projectie is dat alle grote cirkels worden weergegeven als rechte lijnen. Aangezien grote cirkels het kortste pad tussen twee punten op een bol definiëren, is de gnomonische projectie van onschatbare waarde voor het plotten van lange afstandsroutes.Grote cirkelroutes verschijnen als rechte lijnen op de kaart.

De gnomonische projectie betaalt echter een hoge prijs voor deze eigenschap. Vervorming van oppervlakte en vorm neemt zeer snel toe van het centrum. Op afstanden groter dan ongeveer 60 graden van het centrum, vervorming wordt zo ernstig dat kenmerken bijna onherkenbaar zijn. De gnomonische projectie kan niet meer dan één halfrond tonen; het tegenovergestelde halfrond projecten tot oneindigheid. Het is niet gelijk-gebied noch conformaal. Het praktische gebruik ervan is beperkt tot routeplanning (grote cirkelnavigatie) en tot bepaalde seismische en radiotoepassingen waar het grote cirkelpad belangrijker is dan geografische nauwkeurigheid.

De stereografische projectie

De stereografische projectie is een andere oude projectie, toegeschreven aan Hipparchus. Het projecteert punten vanaf het punt op de wereld direct tegenover het punt van de tandtand (de antipode) op het raakvlak. Deze geometrie produceert een conforme projectie: hoeken en vormen worden lokaal bewaard op elk punt op de kaart. Kleine functies behouden hun juiste vorm, waardoor de stereografische projectie nuttig is voor het in kaart brengen van gebieden waar vormtrouw belangrijk is.

In tegenstelling tot de gnomonische, kan de stereografisch een hele halfrond binnen een eindige cirkelvormige grens. Vervorming van het gebied neemt toe met afstand van het centrum, maar in een veel langzamer tempo dan de gnomonische. De stereografische projectie wordt op grote schaal gebruikt voor poolkaarten, voor weer- en klimaatkaarten van de Noordpool en Antarctica, en voor het in kaart brengen van de oppervlakken van andere planeten. Het is ook de standaard projectie gebruikt in het Universal Polar Stereographic (UPS) raster systeem, dat de poolgebieden boven 84 graden noord en onder 80 graden zuid, die de Universal Transverse Mercator (UTM) systeem.

De orthografische projectie

De orthografische projectie is een perspectiefprojectie die de aardbol toont zoals deze zou verschijnen vanaf een oneindige afstand , zoals een foto genomen uit de diepe ruimte. Het wordt gemaakt door punten van de aardbol te projecteren op een raakvlak met behulp van parallelle stralen loodrecht op het vlak. Het resultaat is een visueel realistische, driedimensionale weergave van een halfrond. De orthografische projectie is niet conformaal, niet gelijk-gebied, en niet gelijkwaardig. Het behoudt echter rechte lijnen in beperkte zin, en de visuele aantrekkingskracht is niet gelijk voor het creëren van "globe-achtige" beelden.

Omdat het een uitzicht vanuit de ruimte simuleert, wordt de orthografische projectie gewoonlijk gebruikt voor illustratieve en educatieve doeleinden. De vervorming ervan wordt het meest uitgesproken in de buurt van de ledematen (de rand van het zichtbare halfrond), waar functies extreem gecomprimeerd en voorverkort worden. De orthografische projectie kan slechts één halfrond tegelijk tonen; het tegenovergestelde halfrond is onzichtbaar.

De Lambert Azimuthal Equal-Area Projection

J.H. Lambert, de productieve 18e-eeuwse wiskundige, bedacht deze azimuthalvariant om een specifieke behoefte te dienen: behoudsgebied. De Lambert Azimuthal Equal-Area projectie zorgt ervoor dat gebieden correct vertegenwoordigd zijn op de gehele kaart, ongeacht hun positie ten opzichte van het centrum. Vormen, echter, steeds meer vervormd worden naarmate de afstand tot het centrum toeneemt, vooral bij de randen van het halfrond.

Deze projectie is de voorkeur voor thematische kaarten die statistische of kwantitatieve gegevens tonen over een regio die op een pool of op een specifiek punt is gericht. Het wordt uitgebreid gebruikt door het National Snow and Ice Data Center (NSIDC) voor het in kaart brengen van de pool- en Antarctische ijsgrootte, door ecologen voor het in kaart brengen van soortenverdelingen in poolgebieden, en door geologen voor het in kaart brengen van minerale hulpbronnen in grote, circulaire regio's. De eigenschap van gelijke gebieden maakt het mogelijk om de grootte van kenmerken zoals ijsplanken, ecosystemen of politieke gebieden te vergelijken zonder de misleidende vervormingen van het gebied in andere projecties.

De Lambert Azimuthal Equal-Area projectie is ook de standaard projectie die door het Europees Milieuagentschap (EMA) wordt gebruikt voor pan-Europese mapping, met het projectiecentrum geplaatst op 52°N, 10°E. Deze schuine gebruik (niet gecentreerd op een paal) toont de flexibiliteit van azimuthal projecties voor regionale toepassingen.

De Azimuthal Equidistant Projection

Zoals de naam al doet vermoeden, behoudt de azimutale equidistante projectie ware afstanden van het middelpunt langs radii. Als je de afstand meet in een rechte lijn van het midden van de kaart naar een ander punt, dan is die afstand evenredig met de werkelijke grote cirkelafstand op de wereldbol (op passende wijze geschaald). Deze eigenschap, in combinatie met het behoud van azimututhen van het centrum, maakt de azimuthal equidistant projectie de standaard keuze voor kaarten die luchtvaartafstanden tonen van een hubstad, voor radiodekkingskaarten, en voor kaarten van de poolgebieden waar afstand tot de poolpool een kritische variabele is.

De azimuthale equidistante projectie is niet gelijk-gebied noch conformaal. Vervorming van de oppervlakte neemt toe met afstand van het centrum, en vormen worden vervormd, vooral bij de randen. Echter, de afstand-behoud eigenschap is zo nuttig voor specifieke toepassingen dat de trade-off vaak aanvaardbaar is. Het embleem van de Verenigde Naties gebruikt beroemde pool azimuthal equidistant projectie gecentreerd op de Noordpool, met de parallel op 60 graden noord als de buitenste grens. Deze ontwerpkeuze benadrukt het noordelijk halfrond en symboliseert de wereldwijde eenheid, maar het verstoort ook dramatisch het zuidelijk halfrond (wat niet wordt getoond).

Een bekend voorbeeld van de azimuthale equidistante projectie in de populaire cultuur is de "Vlag van de Verenigde Naties," die een poolbeeld van de wereld gecentreerd op de Noordpool bevat. Een ander voorbeeld is de kaart die gebruikt wordt door de Amerikaanse Postdienst met afstanden van het centrum van het land (vaak geplaatst in Kansas of Missouri). De projectie wordt ook gebruikt in sommige wereldkaarten ontworpen voor het tonen van telecommunicatieverbindingen of rampen respons afstanden van een centrale hub.

Toepassingen in het ontwerp van de kaart

De azimuthal projectie is geen algemene projectie voor alledaagse wereldkaarten. De gespecialiseerde eigenschappen maken het tot het keuzemiddel voor verschillende verschillende en belangrijke domeinen van kaartontwerp.

Poolgebied Mapping

De meest voorkomende toepassing van de azimuthal projectie is het in kaart brengen van de Noordpool en Antarctica. Cilindrische projecties zoals Mercator vervormen sterk polaire gebieden, die horizontaal tot het punt van oneindigheid worden uitgerekt. De konische projecties, terwijl beter op middenbreedtes, zijn onhandig voor de polen. De azimuthale projectie, met het vlak dat aan de pool raak is, biedt een natuurlijke en intuïtieve weergave: de pool is in het midden, parallellen zijn concentrische cirkels, en meridianen stralen naar buiten als spaken. Deze indeling plaatst de hele poolregio in een enkele, ongecompromitteerde weergave.

Polar kaarten met behulp van de azimuthal projectie zijn onmisbaar voor klimaatwetenschap, poolnavigatie, resource management en geopolitieke analyse van het Noordpoolgebied. De National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) maakt gebruik van poolstereografisch en Lambert Azimuthal Equal-Area projecties voor zeeijskaarten. De Antarctische Mapping Mission heeft een Lambert Azimuthal Equal-Area projectie gebruikt voor zijn hoge-resolutie kaarten van het continent. Voor iedereen die de pool cryosfeer bestudeert, is de azimuthal projectie geen keuze; het is een noodzaak.

De gnomonische azimuthal projectie, met zijn eigenschap grote cirkels als rechte lijnen te renderen, heeft een lange geschiedenis in de navigatie. Voor de GPS-leeftijd, zouden navigatoren een grote cirkelroute op een gnomonische kaart in kaart brengen door een rechte lijn te tekenen tussen de oorsprong en bestemming. Ze zouden die route dan overbrengen naar een Mercator grafiek, waar het kon worden gevolgd met een constant kompas lager (rhumb lijn). Dit twee-stappenproces combineerde de efficiëntie van de grote cirkel (kortste pad) met het gemak van constante-hoofdnavigatie.

Vandaag de dag wordt de azimuthal equidistant projectie gebruikt voor luchtvaartroutekaarten die afstanden van een hub luchthaven tonen. Deze kaarten zijn vaak gecentreerd op de hub stad, met alle andere steden uitgezet op hun ware lager en afstand. Luchtvaartmaatschappijen gebruiken deze kaarten om het wereldwijde bereik van hun netwerken te illustreren, terwijl noodhulp organisaties gebruiken om rampenbestrijding operaties te plannen vanaf een centraal stagingspunt. De mogelijkheid om echte afstanden direct van de kaart te lezen is een praktisch voordeel dat geen enkele andere projectie kan overeenkomen.

Radio- en radardekking

De verspreiding van radiogolven en radarsignalen volgt grote cirkelpaden. Een azimuthal projectie gecentreerd op een zender of radar site toont de ware richting aan elke ontvanger of doel, zodat ingenieurs dekkingsgebieden, interferentie zones, en signaalsterkte contouren plotten. De gnomonische projectie is vooral nuttig hier omdat grote cirkelpaden vertalen naar rechte lijnen.

De internationale telecommunicatieplanning, de dekking van het satellietgrondstation en de broadcastzone zijn allemaal afhankelijk van azimuthal-projecties. De International Telecommunication Union (ITU) gebruikt azimuthal-projecties voor frequentietoewijzing en interferentiecoördinatie. Dezelfde logica geldt voor seismische golven: de gnomonische projectie wordt gebruikt om aardbeving epicentra en de paden van seismische golven door het binnenste van de Aarde te plotten, waar de rechtlijnige eigenschap van grote cirkels weer relevant is.

Astronomische en Planetaire Mapping

De stereografische projectie is de standaard voor het in kaart brengen van de poolgebieden van de Maan, Mars, Jupiter's manen en andere hemellichamen. De gelijke-gebied eigenschappen van de Lambert Azimuthal Equal-Area projectie maken het nuttig voor het in kaart brengen van de verdeling van oppervlaktekenmerken kraters, vulkanen, ijsafzettingen over de poolkappen van een planeet.

In de astronomie wordt de stereografische projectie gebruikt voor sterrenkaarten en voor het in kaart brengen van de hemelbol. De conforme eigenschap behoudt de vormen van sterrenbeelden, waardoor het gemakkelijker wordt patronen te herkennen. De orthografische projectie wordt gebruikt om het uiterlijk van een planeet te simuleren, gezien vanuit een ruimtevaartuig of vanuit een ver gelegen uitkijkpunt. Deze toepassingen benadrukken de veelzijdigheid van de azimuthalfamilie buiten de aardse cartografie.

Voordelen en beperkingen

Elke projectie houdt in dat er afwisseling plaatsvindt. Een duidelijk begrip van wat de azimuthal-projectie goed doet en waar het tekortschiet is essentieel voor verantwoord kaartontwerp.

Voordelen

Waarschuwingen vanuit het Centrum: Dit is het bepalende voordeel. Voor elke toepassing die een nauwkeurige waardebepaling vereist vanuit één referentiepunt, radio, seismologie, noodrespons en de azimuthal projectie is onovertroffen.

Natuurlijk poolzicht: De azimuthalprojectie biedt de meest intuïtieve en coherente kijk op de poolgebieden. De Noordpool of de Zuidpool ligt van nature in het midden, en de hele omliggende regio is zichtbaar zonder scheuren of extreme vervorming van andere projecties. Dit maakt de azimuthalprojectie de standaard voor poolwetenschappen en beleidskaarten.

Veelzijdige Varianten: De azimuthalfamilie omvat projecties die het gebied (Lambert Azimuthal Equal-Area), vorm (stereografisch), afstand (azimutale equidistant) en grootcirkelpaden (gnomonisch) behouden. Cartograafs kunnen de variant kiezen die het beste overeenkomt met hun gegevens en doel, met behoud van de fundamentele azimuthale eigenschap.

Circulair formaat: De circulaire grens van de azimutale projectie kan esthetisch zijn en de aandacht van de kijker richten op het centrale interessegebied. De VN-vlag is een beroemd voorbeeld van deze visuele impact. Het circulaire formaat werkt ook goed in emblematische, symbolische en educatieve contexten.

Minimal Distortion at Center: For maps that focus on a relatively small region around the center point, the azimuthal projection introduces very little distortion. A regional map of a city and its surroundings, centered on that city, can be remarkably accurate in terms of distance, area, and direction.

Beperkingen

Sever Distortion Away from Center: De centrale beperking van alle azimuthal projecties is dat vervorming radiaal naar buiten toeneemt. Meer dan ongeveer 60 graden van het centrum, vervorming wordt ernstig. Hele hemisferen kunnen niet worden getoond zonder extreme compressie of rekken van de verste kant. Dit maakt azimuthal projecties ongeschikt voor de meeste wereldkaarten die een evenwichtige weergave van alle continenten vereisen.

Geen globale dekking zonder vervorming: In tegenstelling tot de Mercator- of Robinsonprojecties, die de hele wereld binnen één rechthoekig kader kunnen laten zien, kan de azimuthalprojectie alleen een hemisfeer (of minder) tonen zonder onaanvaardbare vervorming. Globale azimuthalkaarten bestaan wel, maar het verre halfrond is ernstig vervormd en vaak niet herkenbaar. De azimuthalprojectie is inherent een regionale of hemisfeerprojectie, niet een globale projectie.

Directionele nauwkeurigheid Alleen vanuit het centrum: De eigenschap van azimuthal die de ware richtingen bewaart, is alleen van toepassing vanuit het middelpunt. De azimuten tussen twee niet-centerpunten worden niet bewaard. Als een kaartgebruiker het gedrag van meerdere oorsprongen moet bepalen, is de azimuthalprojectie niet het juiste hulpmiddel.

Niet geschikt voor Equatoriaale Regio's: Wanneer het azimutale projectiescherm op een paal is gericht, vervormt de laagbreedteregionen ernstig. De evenaar, indien getoond, verschijnt als een cirkel aan de rand van de kaart, met extreme oppervlakte- en vormvervorming. Dit beperkt het nut van de projectie voor kaarten die tropische of equatoriale zones naast de polen moeten omvatten.

Graticule Can Be Misleidend: Het radiale patroon van meridianen en concentrische cirkels van parallellen in de pool azimuthal projectie kan een misleidende indruk geven van de relatieve posities van continenten. Bijvoorbeeld, Australië en Zuid-Amerika lijken te zijn aan tegenovergestelde kanten van de aardbol ..die ze zijn ..maar hun afstand en richting relatie kan niet intuïtief zijn vanuit het poolzicht. Kaartlezers onbekend met de projectie kunnen de ruimtelijke relaties verkeerd interpreteren.

Conclusie: De juiste Azimuthal-projectie kiezen

De azimuthal projectie blijft een essentieel instrument in de moderne cartografie, gewaardeerd om zijn richtingstrouw en zijn natuurlijke representatie van poolgebieden. Het is niet een projectie voor elk doel; het beste gebruik is voor kaarten die zich richten op een specifiek punt van belang, meestal een pool, en die vereisen nauwkeurige lager of afstand van dat punt. Klimaatwetenschappers, poolnavigators, radio-engineers, astronomen, en rampen respons planners allemaal vertrouwen op de azimuthal familie voor taken die andere projecties gewoon niet kunnen behandelen.

When selecting an azimuthal projection, the key questions are: